5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y minimos

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x² − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

Problemas

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x ³ + ax² + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f(x) =x³ + ax² + bx + c f′(x) = 3x² + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax ³ + bx ² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax ³ +bx ² +cx +df′(x) = 3ax ² + 2bx + c

f(0) = 4 d = 4

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f′(0) = 0 c = 0

f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx ² + x tenga extremos en los puntos x₁ = 1 y x₂ = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

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