1.2 Dominio y Rango de función

Dominio, codominio y rango

En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan. Pero de hecho son conceptos importantes cuando sedefine una función. ¡Sigue leyendo!

Por favor, primero lee "¿Qué es una función?"...

Funciones

Una función relaciona una entrada con una salida.

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a: a(edad) = edad × 20 Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm

Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200

Entrada y salida

Pero muchas veces es importante decir qué valores pueden entrar y pueden salir de una función.

Aquí tienes algunas razones:

• La función no funciona si das valores equivocados (como una edad negativa)
• Limitar los valores de entrada te puede permitir hacer después cosas especiales con la función
• Saber el tipo de valores de salida (por ejemplo siempre positivos) también ayuda

Entonces, ¿cómo se dice lo que entra o sale en una función? respuesta: se usan conjuntos...

Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo números. Aquí tienes unos ejemplos: Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...} Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}

De hecho, las funciones se definen sobre conjuntos:

Definición formal de una función Una función relaciona cada elemento de un conjunto con exactamente un elemento de otro conjunto (puede ser el mismo conjunto).

Dominio y rango

Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:

	Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
	Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio
	Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen

Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.

Parte de la función

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.

De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.

Ejemplo: una simple función como f(x) = x² puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}

Y otra función g(x) = x² puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}

	Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan enconjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes.
	También tienen diferentes propiedades. Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)

Así que el dominio es una parte muy importante de la función.

Entonces, ¿todas las funciones tienen su dominio?

Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone:

• Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que funcione".
• O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros.
• etc.

¡Pero en matemáticas más avanzadas tienes que tener cuidado!

Codominio y rango

El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.

El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.

El rango es el conjunto de valores que realmente salen.

Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así).

Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares.

Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.

Así que rango es un subconjunto del codominio.

¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como los enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.

La importancia del codominio

Déjame que te haga una pregunta: ¿la raíz cuadrada es una función?

Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los números reales, ¡entonces la raíz cuadrada no es una función! ... ¿te sorprende?

La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) = 3 o -3

Una función debe ser univaluada. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 o 9" no está bien!

Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales no negativos.

√De hecho, el símbolo radical (como en √x) siempre significa la raíz cuadrada positiva (la principal), así que √x es una función porque su codominio es correcto.

Así que el codominio que elijas puede afectar el que algo sea o no una función.

Notación

A los matemáticos no les gusta escribir muchas palabras cuando unos pocos símbolos hacen el mismo trabajo. Así que hay maneras de decir que "el dominio es", "el codominio es", etc.

Esta es la mejor manera que conozco:

	Esto dice que la función "f" tiene dominio "N" (los números naturales), y también codominio "N".
	y esto dice que la función "f" toma "x" y devuelve "x2"