viernes, 22 de mayo de 2015

3.4 Diferenciabilidad y Continutinuidad

Parte B: Diferenciabilidad
Nota Para entender este tema, debes estar familiarizado con las derivadas y límites, como se explica en el capítulo sobre el tema en Cálculo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, puedes revisar el material del resumen del tema de derivadas y límites o, para estudiarlo más detalladamente, eltutorial en línea sobre derivadas y límites.
Para empezar, recordando la definición de la derivada de una función, y lo que significa para una función ser diferenciable.
Derivada; Diferenciabilidad
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por
    f'(a)=lim
    h0
    f(a+h) - f(a)

    h
Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.
Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.

Nota
Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a silim
h0
f(a+h) -f(a)

h
no existe, o es infinito.
En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.
 
 Ejemplo 1 Funciones no diferenciables en puntos aislados
Determina los puntos de no diferenciabilidad de las siguientes funciones
    (a)f(x)=(x-1)1/3   (b)g(x)=|x+2|   (c)r(x)=
    x2

    - 1
Solución

(a) La regla de la potencia nos dice que f(x) = (x-1)1/3 tiene derivada f'(x) = (1/3)(x-1)-2/3 en todas los puntos donde se define esta expresión, y no es diferenciable cuando (1/3)(x-1)-2/3no se define. Porque (x-1) tiene un exponente negativo, f'(x) no está definido cuando x = 1, y por lo tanto f no es diferenciable ahí. De hecho, un cálculo directo muestra que
    lim
    h0
    f(1+h) - f(1)

    h
    =lim
    h0
    h1/3

    h
    =lim
    h0
    1

    h2/3
    =+,
mostrando que f no es diferenciable en x = 1.
(b)Porque g(x) = |x+2| =-(x+2)

x+2
 si x  -2

si x > -2
  ,
y que ya sabemos que los -(x+2) y x+2 son diferenciables, el único punto en el que puede salir algo mal es cuando x = -2. En este punto, podemos calcular el límite del cociente de la diferencia directamente:
    lim
    h0
    f(-2+h) - f(-2)

    h
    =lim
    h0
    |h|

    h
    .
Sin embargo, este límite no existe (ver el ejemplo 2 en la sección 6 del capitulo sobre derivadas enCálculo Aplicado al Mundo Real) ya que los límites izquierdo y derecho son diferentes.
(c) La regla del cociente nos dice que r(x) = x2/(x - 1) es diferenciable en todos los puntos excepto en x = 1. Sin embargo, x = 1 no está en el dominio de r, y por lo tanto r es diferenciable en todos los puntos de su dominio.
Como vemos en la gráfica a la derecha, no hay puntos de tangencia vertical o cúspides.
Antes de seguir...
Como se puede ver, las gráficas proporcionan información inmediata en cuanto a dónde debe buscar un punto de no diferenciabilidad: un punto donde parece que hay un cúspide o una tangente vertical.

Aquí está uno para ti.
 Ejemplo 2 Puntos de no difereciabilidad
    Pf(x) = (x-1)4/3 esen x = 1
    Pf(x) = (x-1)2/3 esen x = 1
    Pf(x) = (x-1)-1/3 esen x = 1
    Pf(x) = |x-1|4/3 esen x = 1

En Parte A hablamos de continuidad, y aquí hablamos de diferenciabilidad. ¿Son todas las funciones continuas son diferenciables? ¿Todas las funciones diferenciables son continuas?
Brevemente:
(a) No todas las funciones continuas son diferenciables. Por ejemplo, la función de forma cerrada f(x) = |x| es continua en cada número real (incluyendo x = 0), pero no diferenciable en x = 0.
(b) Sin embargo, cada función diferenciable es continua. Más precisamente, tenemos el siguiente teorema.
 Teorema Diferenciabilidad implica continuidad
Si f es diferenciable en a, entonces es continua en a.
Prueba
Supongamos que f es diferenciable en el punto x = a. Entonces sabemos que
    lim
    h0
    f(a+h) - f(a)

    h
    existe, e igual f'(a).
Por lo tanto,
    lim
    h0
    f(a+h) -f(a)=lim
    h0
    f(a+h) -f(a)

    h
    .h=f'(a). 0 = 0.    Límite del producto = producto de los límites
Esto da
    lim
    h0
    f(a+h)=lim
    h0
    [f(a+h) - f(a)] + f(a)=0 + f(a) = f(a).    Límite de la suma = suma de los límites
Si tomamos x = a+h, entonces h = x-a, y el resultado anterior puede escribirse como
    lim
    x-a0
    f(x)=f(a).
En otras palabras,
    lim
    xa
    f(x)=f(a),
que significa que f es continua en x = a.
Ahora puedes probar el resto de los ejercicios en los ejercicios para este tema.

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